Response Surface Designs

INTRODUZIONE

Sovente, nella metodologia delle superfici di risposta (Response Surface Methodology), la stima iniziale delle condizioni di esercizio è lontana dall’ottimo reale. L’obiettivo finale della metodologia delle superfici di risposta è quello di determinare le condizioni di esercizio ottime per il sistema o più in generale determinare una regione dello spazio sperimentale in cui i requisiti operativi siano soddisfatti (Fig. 1).

Fig. 1 – Obiettivo della metodologia della superfice di risposta

Il metodo del percorso di salita ripida (Path of Steepest Ascent) permette di spostarsi sequenzialmente nel- la direzione di massimo aumento della variabile di risposta. Naturalmente, se l’obiettivo è quello di minimizzare la variabile di risposta, il metodo da utilizzare sarà quello del percorso di più ripida discesa (Path of Steepest Descent).

Si consideri un modello del primo ordine fittato:

In questo caso la superfice di risposta è un piano, cioè le curve di livello di ̂ sono una serie di rette parallele come quelle mostrate nella Fig. 2. La direzione di salita più ripida, quella in cui cresce più rapidamente, è ortogonale alle linee di livello relative alla superfice di risposta fittata. Generalmente, si assume come percorso di salita più ripida la linea passante per il centro della regione d’interesse, ortogonale alle linee di livello della superfice fittata. I passi lungo tale percorso, proporzionali ai coefficienti, hanno entità determinata dallo sperimentatore sulla base della conoscenza del processo o di altre considerazioni pratiche. Generalmente, il metodo di salita/discesa più ripida si sviluppa nelle seguenti fasi:

• fittare un primo modello del primo ordine con un disegno ortogonale. I disegni a due livelli sono generalmente abbastanza appropriati, anche se la presenza di punti centrali è spesso raccomandabile;
• calcolare il cammino di ascesa/discesa più ripida a seconda che si debba massimizzare o minimizzare la variabile di risposta;
• in qualche posizione, lungo il percorso, dove l’approssimazione della variabile di risposta si massimizza o si minimizza scegliere dei nuovi livelli come base per un secondo esperimento;
• condurre un secondo esperimento e fittare un altro modello del primo ordine. Se il test per la bontà di adattamento (Lack-of-Fit test) risulta significativo, risulta verosimile essere nelle vicinanze dell’ottimo reale.

Fig. 2 – Superfice di risposta del primo ordine e percorso di salita ripida

Per calcolare il percorso di salita/discesa più ripida, è necessario prima di tutto fittare un modello del primo ordine, assumendo che il punto x₁ = x₂ = ⋯ = x_k = 0 sia la base o il punto di origine. Quindi:

• scegliere una variabile di processo come “fattore di base” nonché la dimensione del passo di incremento (). Per impostazione predefinita, se il fattore di base non è specificato, la macro seleziona la variabile a cui corrisponde il coefficiente di regressione più grande in valore assoluto ;
• determinare l’incremento nelle altre variabili di processo utilizzando la seguente equazione:
  
• trasformare gli incrementi da unità codificate a unità non codificate (naturali).

MACRO “PATH OF STEEPEST ASCENT/DESCENT”

La macro, permette di determinare il percorso di salita/discesa più ripida. La prima riga contiene il comando principale mentre le altre linee sono sottocomandi facoltativi:

ascent y x.1-x.n;
store u.1-u.j;
step s;
base b;
descent;
runs r.

Dove:

• ascent indica il nome della macro;
• y indica la colonna del worksheet contenente la variabile di risposta;
• 1-x.n indicano le colonne del worksheet contenenti i livelli (non codificati) dei fattori;
• store u.1-u.j memorizza il percorso di salita/discesa più ripida nel worksheet. 1-u.j indicano le colonne nel foglio di lavoro in cui verrà memorizzato il percorso. Si suggerisce di avere una colonna di archiviazione per ogni fattore. Se questo sottocomando non è specificato, Minitab visualizza il percorso solamente nella finestra di sessione;
• step s definisce l’incremento della variabile di processo (in unità codificate. Per impostazione predefinita, l’incremento è 1;
• base b definisce il passo nel percorso della salita/discesa più ripida. Per impostazione predefinita, la dimensione del passo è il coefficiente del fattore che ha il più grande valore assoluto;
• descent calcola il percorso della discesa più ripida. Nessun parametro di input è necessario. Se questo sottocomando non è specificato, Minitab calcola il percorso di salita più ripida;
• runs r indica il numero passi da generare. Per impostazione predefinita, il numero di passi è 5.

ESEMPLIFICAZIONE

Nel worksheet ETCH è stato registrato il risultato di un disegno sperimentale fattoriale con punto centrale al fine di massimizzare la variabile di risposta velocità di incisione al plasma (Etch Rate Å/min) in funzione dei fattori distanza anodo-catodo (Gap cm) e alimentazione al catodo (Power W); inoltre il fitting di un modello del primo ordine ha fornito il seguente risultato:

In allegato al presente articolo copiare la macro ASCENT.MAC nel desktop. Selezionare Edit – Command Line Editor quindi digitare (Fig. 3):

%ASCENT C7 C5-C6;

STORE C9-C10.

Fig. 3 – Command Line Editor per la macro ASCENT

Premendo il pulsante Submit Commands, si ottiene (Fig. 4):

Fig. 4 – Risultato dell’implementazione della macro ASCENT

Esaminando la finestra di sessione (fig. 4) si osserva:

• Total # of Runs = 5 (numero di passi compiuti dall’algoritmo);
• Total # of Factors = 2 (numero di fattori del modello del primo ordine);
• Base Factor Name = Gap (nome del “fattore di base”);
• Step Size Base Factor by = 1,00 (dimensione del passo di incremento);
• Coded Coefficient of Base Factor = – 66,25 (coefficiente di regressione associato al “fattore di base”);
• tabella riportante i nomi dei fattori, i valori numerici dei coefficienti di regressione, i valori dei livelli.

Nel worksheet, le colonne C9 (X.1) e C10 (X.2) riportano i valori dei fattori Gap (X.1) e Power (X.2) risultanti dall’implementazione del metodo Path of Steepest Ascent. Poiché il modello è costituito da solo due fattori, è possibile rappresentare graficamente il percorso calcolato dall’algoritmo. Selezionare Graph – Scatterplot – Simple, in Y Variables: X.1 e in X Variables: X.2 (Fig. 5):

Fig. 5 – Scatterplot – Simple

Premendo OK, si ottiene (Fig. 6):

Fig. 6 – Scatterplot del Path of Steepest Ascent

Per migliorare la comprensione del grafico è possibile aggiungere i valori dei livelli del piano sperimentale che ha generato il modello del primo ordine. Premere il pulsante destro del mouse, selezionare Add e quindi Reference Lines (Fig. 7):

Fig. 7 – Add – Reference Lines

In Show reference lines at Y values: 1,2 1,6 e in Show reference lines at X values: 275 325 (Fig. 8):

Fig. 8 – Add Reference Lines

Premendo OK, si ottiene (Fig. 9):

Fig. 9 – Scatterplot del Path of Steepest Ascent con i valori dei livelli dei fattori

Il rettangolo (Fig. 9) rappresenta il piano sperimentale fattoriale. La direzione di miglioramento parte dal centro del rettangolo e si allontana da esso, per valori sempre più piccoli del fattore Gap (X.1) e sempre più grandi del fattore Power (X.2).
Utilizzando l’equazione fittata del primo ordine è possibile calcolare i valori della variabile di risposta (Etch Rate) in funzione dei nuovi valori di Gap e Power.

Selezionare Calc – Calculator in Store result in variable: C11 e in Expression: 766,25 – 66,25 * ‘X.1’ + 43,75 * ‘X.2’ (Fig. 10):

Fig. 10 – Calculator

Premendo OK, si ottiene (Fig. 11):

Fig. 11 – Worksheet con i risultati del Calculator

Esaminando il worksheet (Fig. 11) la colonna C11 riporta i valori della variabile di risposta (Etch Rate) in funzione dei nuovi valori di Gap (X.1) e Power (X.2).
Anche in questo caso è possibile una rappresentazione grafica dei valori calcolati.
Selezionare Graph – 3D Scatterplot – Simple, in Z variable: C11, in Y variable: X.1 e in X variable: X.2 (Fig. 12):

Fig. 12 – 3D Scatterplot – Simple

Premere il pulsante Scale e in Minor ticks selezionare Z Scale, Y Scale e X Scale (Fig. 13).

Premere Gridlines e in Show Gridlines For: Z major ticks, Z minor ticks, Y major ticks, Y minor ticks, X major ticks, X minor ticks, quindi OK (Fig. 14).

Premere OK, quindi Data Display e selezionare Project lines (Fig. 15).

Fig. 13 – 3D Scatterplot – Scale – Axes and Ticks

Fig. 14 – 3D Scatterplot – Scale – Gridlines

Fig. 15 – 3D Scatterplot – Data View

Premendo ripetutamente OK, si ottiene (Fig. 16):

Fig. 16 – 3D Scatterplot di Etch Rate vs Gap e Power (dati del Path of Steepest Ascent utilizzando il modello fittato del primo ordine)

Osservando la disposizione spaziale dei punti (Fig. 16) è immediato osservare come i valori crescenti della variabile di risposta (C11) siano stati determinati da valori sempre più piccoli del fattore Gap (X.1) e sempre più grandi del fattore Power (X.2).

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